தருக்க அணி

கணிதத்தில் தருக்க அணி (logical matrix) என்பது, பூலிய ஆட்களமான B = {0, 1}. இன் உறுப்புகளாலான அணியாகும். இவ்வணி இரும அணி (binary matrix), உறவு அணி (relation matrix), பூலிய அணி (Boolean matrix), (0, 1) அணி எனவும் அழைக்கப்படும். இவ்வகையான அணியை ஒரு சோடி முடிவுறு கணங்களுக்கிடையே உள்ள ஈருறுப்பு உறவைக் குறிப்பதற்குப் பயன்படுத்தலாம். m x n வரிசைகொண்ட இரும அணிகளின் எண்ணிக்கை 2^mn ஆகும்.

ஒரு உறவின் அணிக் குறியீடு

X , Y எனும் இரு முடிவுறு குறியிடப்பட்ட கணங்களுக்கு இடைப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவு R ( R ⊆ X×Y) எனில், ஒரு தருக்க அணி ( M) மூலம் R ஐ உருவகிக்கலாம்:

$M_{i,j}={\begin{cases}1&(x_{i},y_{j})\in R\\0&(x_{i},y_{j})\not \in R\end{cases}}$

இந்த அணியின் நிரை மற்றும் நிரல்களை எண்ணிடுவதற்காக, X , Y அணிகளின் உறுப்புகள் நேர்ம முழுவெண்களைக் கொண்டு குறியிடப்படுகின்றன. சுட்டெண் i இன் மதிப்புகள் 1 முதல் X கணத்தின் அளவையெண் வரையும், j இன் மதிப்பு 1 முதல் Y கணத்தின் அளவையெண் வரையும் இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• {1, 2, 3, 4} கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவு R:

a ஆனது b ஐ மீதமின்றி வகுக்கும் எனில் aRb

2R4 என்பது சரி. ஆனால் 3R4 ஆக இருக்க முடியாது (4 ஐ மூன்றால் வகுக்கும் போது 1 மீதியாகக் கிடைக்கும்).

R உறவிற்கான வரிசைச் சோடிகளின் கணம்:

{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4, 4)}.

இந்த உறவின் பூலிய அணி உருவகிப்பு:

${\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&0&1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.$

• ஒவ்வொரு நிரை மற்றும் நிரலில் ஒரேயொரு உறுப்பு மட்டும் 1 ஆகவும், ஏனைய உறுப்புகளைப் பூச்சியமாகவும் கொண்ட வரிசைமாற்ற அணி ஒரு (0,1)-அணியாகும்.

• சமன் உறவின் அணி உருவகிப்பு ஒரு முற்றொருமை அணியாக இருக்கும். முற்றொருமை அணியின் முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகள் 1 களாகவும், ஏனைய உறுப்புகள் 0 ஆக இருக்குமாதலால், சமன் உறவின் அணி உருவகிப்பு ஒரு பூலிய அணியாகும்.

மேற்கோள்கள்

• Hogben, Leslie (2006), Handbook of Linear Algebra (Discrete Mathematics and Its Applications), Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, ISBN 978-1-58488-510-8, section 31.3, Binary Matrices
• Kim, Ki Hang, Boolean Matrix Theory and Applications, ISBN 0-8247-1788-0

வெளியிணைப்புகள்

தமிழர்விக்கி பொதுவகத்தில் விரைவில் வருவதற்கு உதவி செய்யுங்கள்.

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Logical matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104