இராமானுசரின் தலையாய தேற்றம்
இராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் (Ramanujan's master theorem), சீனிவாச இராமானுசன் என்ற கணிதவியலாளரின் பெயரிடப்பட்டகணிதத்தில் ஒரு தேற்றமாகும்.[1] என்று பெயரிடப்பட்டது) இத்தேற்றமானது பகுப்பாய்வு சார்பின் மெல்லின் உருமாற்றுக்கு பகுமுறை விரிவாக்கத்திற்கான ஒரு உத்தியை வழங்குகிறது.
தேற்றத்தின் முடிவுகள் பின்வருமாறு கூறப்படுகிறது:
சிக்கலெண் மதிப்புடைய சார்பு [math]\displaystyle{ f(x) }[/math]-ன் விரிவாக்கமானது
- [math]\displaystyle{ f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{\phi(k)}{k!}(-x)^k \! }[/math] எனில்,
[math]\displaystyle{ f(x) }[/math] இன் மெல்லின் உருமாற்றானது பின்வருமாறு உள்ளது:
- [math]\displaystyle{ \int_0^\infty x^{s-1} f(x) \, dx = \Gamma(s)\phi(-s) \! }[/math]
இங்கு [math]\displaystyle{ \Gamma(s) \! }[/math] என்பது காமா சார்பு ஆகும்
இது வரையறுத்த தொகையீடுகள் மற்றும் முடிவற்ற தொடர்கள் சார்ந்த கணக்கீடுகள் கண்டறிவதற்கு இராமானுசரால் தொடர்ந்து பயன்படுத்தப்பட்ட சார்பு ஆகும்.
இந்தக் தேற்றத்தின் உயர் பரிமாண பதிப்புகள் குவாண்டம் இயற்பியலில் (ஃபேய்ன்மேன் விளக்கப்படங்கள் மூலம்) பயன்படுகின்றன.[2]
இதேபோன்ற முடிவுகளை ஜெ. டபிள்யு. எல் கிளாசர் பெற்றார்.[3]
மாற்றுவடிவ சூத்திரம்
இராமானுசரின் தலையாய தேற்றத்தின் மாற்று வடிவ சூத்திரம் பின்வருமாறு:
- [math]\displaystyle{ \int_0^\infty x^{s-1} ({\lambda(0)-x\lambda(1)+x^{2}\lambda(2)-\cdots}) \, dx = \frac{\pi}{\sin(\pi s)}\lambda(-s) }[/math]
மேற்கண்ட சூத்திரத்தில் [math]\displaystyle{ \lambda(n) = \frac{\phi(n)}{\Gamma(1+n)} \! }[/math] என்று பிரதியிட்டு காமா சார்பு சமன்பாட்டினைப் பயன்படுத்த இவ்வடிவமானது முன்னர் குறிப்பிட்ட வடிவிற்கு ஒருங்கும். .
சார்பு [math]\displaystyle{ \phi }[/math]-ன் வளர்நிலைகளைப் பொறுத்து [math]\displaystyle{ 0\lt \operatorname{Re}(s)\lt 1 }[/math] என்ற இடைவெளியில் மேற்கண்ட தொகையானது ஒருங்கக்ககூடியது ஆகும்.[4]
நிறுவல்
"இயல்பான" அனுமானங்களுடன் (இருப்பினும் பலவீனமான போதுமான நிபந்தனைகளாக இல்லாதவை) எச்ச தேற்றம் மற்றும் நன்கு அறியப்பட்ட மெல்லின் தலைகீழ் தேற்றம் ஆகியவற்றை ஆதாரமாகக் கொண்டு, கணிதவியலாளர் சி.எச்சு ஆர்டி, இராமானுசரின் தலையாய தேற்றத்தின் நிறுவலை அளித்துள்ளார்.[5]
பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவைகளில் பயன்பாடு
பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவை [math]\displaystyle{ B_k(x)\! }[/math] களின் பிறப்பாக்கி சார்பு வருமாறு:
- [math]\displaystyle{ \frac{ze^{xz}}{e^z-1}=\sum_{k=0}^\infty B_k(x)\frac{z^k}{k!} \! }[/math]
இந்த பல்லுறுப்புக்கோவைகள் ஹர்விட்ஸ் இசீட்டா சார்பின் வடிவில் வழங்கப்படுகின்றன:
- [math]\displaystyle{ \zeta(s,a)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+a)^s} \! }[/math]
இது [math]\displaystyle{ n \geq 1 }[/math] க்கு [math]\displaystyle{ \zeta(1-n,a)=-\frac{B_n(a)}{n} \! }[/math] என்றவாறு உள்ளது.
இராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் மற்றும் பெர்னோலி பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் பிறப்பாக்கி சார்பு ஆகியவற்றை0 பயன்படுத்தும் போது பின்வரும் தொகை வடிவில் இருக்கும்:[6]
- [math]\displaystyle{ \int_0^\infty x^{s-1} \left(\frac{e^{-ax}}{1-e^{-x}}-\frac{1}{x}\right) \, dx = \Gamma(s)\zeta(s,a) \! }[/math]
இது [math]\displaystyle{ 0\lt \operatorname{Re}(s)\lt 1\! }[/math] [math]\displaystyle{ 0\lt \operatorname{Re}(s)\lt 1\! }[/math] [math]\displaystyle{ 0\lt \operatorname{Re}(s)\lt 1\! }[/math]க்கு உண்மையாகும் .
காமா சார்பின் பயன்பாடுகள்
காமா சார்பு பற்றி வீர்சார்ட்-ன் வரையறை
- [math]\displaystyle{ \Gamma(x)=\frac{e^{-\gamma x}}{x}\prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{x}{n}\right)^{-1} e^{x/n} \! }[/math]
இது [math]\displaystyle{ \log\Gamma(1+x)=-\gamma x+\sum_{k=2}^\infty \frac{\zeta(k)}{k}(-x)^k \! }[/math]ன் விரிவாக்கத்திற்கு சமமானதாகும்
இங்கு [math]\displaystyle{ \zeta(x) }[/math]என்பது ரீமன் இசீட்டா சார்பு ஆகும் .
இராமானுசரின் தலையாய தேற்றம் பின்வருமாறு பயன்படுத்துகிறோம்:
[math]\displaystyle{ \int_0^\infty x^{s-1} \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^2} \, dx= \frac{\pi}{\sin(\pi s)}\frac{\zeta(2-s)}{2-s} \! }[/math]
இது [math]\displaystyle{ 0\lt Re(s)\lt 1\! }[/math] உண்மையாகும்
இங்கு [math]\displaystyle{ s=\frac{1}{2} \! }[/math] மற்றும் [math]\displaystyle{ s=\frac{3}{4} \! }[/math] ன் சிறப்பு வகைகள் வருமாறு
- [math]\displaystyle{ \int_0^\infty \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^{5/2}} \, dx =\frac{2\pi}{3} \zeta\left( \frac{3}{2} \right) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int_0^\infty \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^{9/4}} \,dx = \sqrt{2} \frac{4\pi}{5} \zeta\left(\frac 5 4\right) }[/math]
மேற்கோள்கள்
- ↑ Berndt, B. (1985). Ramanujan’s Notebooks, Part I. New York: Springer-Verlag.
- ↑ González, Iván. "A generalized Ramanujan Master Theorem applied to the evaluation of Feynman diagrams".
- ↑ Glaisher, J. W. L. (1874). "A new formula in definite integrals". The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science 48 (315): 53–55.
- ↑ Amdeberhan, Tewodros; Gonzalez, Ivan; Harrison, Marshall; Moll, Victor H.; Straub, Armin (2012). "Ramanujan's Master Theorem". The Ramanujan Journal 29 (1–3): 103–120. doi:10.1007/s11139-011-9333-y.
- ↑ Hardy, G. H. (1978). Ramanujan. Twelve Lectures on subjects suggested by his life and work. New York: Chelsea.
- ↑ Espinosa, O.; Moll, V. (2002). "On some definite integrals involving the Hurwitz zeta function. Part 2". The Ramanujan Journal 6 (4): 449–468. doi:10.1023/A:1021171500736.