இராமானுசன் கணிதத்துளிகள்: எண் பிரிவினை

16 வயதுக்குள் கணித இயலர் என்ற தகுதியை தனக்குள் அடைந்து 32 வயதே வாழ்ந்த சீனிவாச இராமானுஜன், உலகத்தை வியக்கச் செய்த ஒப்பரிய பெரும் கணித மேதை. இராமானுஜனுடைய கணித மேதையை எடுத்துக்காட்டக் கூடியதாகவும் கணிதத்தில் திறன் இல்லாதவர்களும் ஓரளவு புரிந்து கொள்ளக்கூடிய ஒரு கணிதத்துளி எண் பிரிவினை யைப் பற்றியது.

அரிச்சுவடி

ஒரு நேர்ம முழு எண் [math]\displaystyle{ n }[/math] இன் பிரிவினை என்பது கீழ்க்கண்ட பண்புடன் கூடிய [math]\displaystyle{ a, b, c, d, ... ,r }[/math] என்ற நேர்ம முழு எண்களாலான ஒரு முடிவுறுத் தொடர்வு:

[math]\displaystyle{ a + b + c + d + ... + r = n. }[/math]

எ.கா.: 4, 3, 3, 2 என்ற தொடர்வு 12 என்ற எண்ணின் பிரிவினை. 4,3,3,2 - இவை அப்பிரிவினையின் பாகங்கள். இப்பிரிவினையை பாகங்களுக்கு நடுவில் 'கமா' இல்லாமல் 4332 என்றே எழுதுவது வழக்கம். மற்றும் பிரிவினை எழுதுவதில் இன்னொரு மரபு பாகங்களை இறங்குவரிசையில் எழுதுவது.

522111 என்பது 12 இன் இன்னொரு பிரிவினை.

முதல் கேள்வி

[math]\displaystyle{ n }[/math] என்ற ஒரு எண்ணிற்கு எத்தனை பிரிவினைகள் இருக்கமுடியும்? அப்படி இருக்கக்கூடிய பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கை [math]\displaystyle{ p(n) }[/math] என்ற குறியீட்டால் காட்டப்படும்.

சில முதல் மதிப்புகள் :

p(1) = 1

p(2) = 2; ஏனென்றால் 2 இன் பிரிவினைகள் 2; 11 மட்டுமே.

p(3) = 3: ஏனென்றால் 3 இன் பிரிவினைகள் 3; 21; 111.

இதுபோலவே,

p(4) = 5

p(5) = 7

p(6) = 11

p(7) = 15

p(8) = 22

p(9) = 30

p(10) = 42

p(20) = 627

.

.

.

.

p(200) = 3972999029388.

ஆக, p(n) வெகு வேகமாக பெரிய எண்ணிக்கையை எட்டிவிடுகிறது.

[math]\displaystyle{ p(n) }[/math] ஐப்பற்றி இராமானுசன் நிறுவிய பல முற்றொருமைச் சமன்பாடுகளில் பேராசிரியர் ஜீ.ஹெச். ஹார்டியும் எண் கோட்பாட்டில் நிபுணரான மேஜர் மெக்மேய்ன் கீழ்க்கண்ட சமன்பாட்டை சிறந்த ஒன்றாகக் கருதுகிறார்கள்:

[math]\displaystyle{ p(4) + p(9) x + p(14) x^2 + ... }[/math] = [math]\displaystyle{ \frac{5\{(1-x^5)(1-x^{10})(1-x^{15})...\}^5}{\{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)...\}^6} }[/math]

1918 இல் ஹார்டியும் இராமானுசனும் சேர்ந்து Proceedings of the London Mathematical Society என்ற ஆராய்ச்சிப்பத்திரிகையில் 40 பக்கத்திற்கு ஒரு ஆய்வுக்கட்டுரை எழுதி அதில் p(n) க்கு பின்வரும் அணுகுமுறை வாய்பாடு தீர்மானித்தனர். எண் பிரிவினைக் கோட்பாட்டில் இது இன்றும் ஒரு பெரிய சாதனையாகக்கருதப்படுகிறது.

[math]\displaystyle{ p(n) \sim \frac {\exp \left( \pi \sqrt {2n/3}\right) } {4n\sqrt{3}} \mbox { as } n\rightarrow \infty. }[/math].

இதைப்பற்றி ஹார்டி இராமானுசனைப்பற்றி எழுதும்போது சொல்கிறார்: ' இராமானுசனுடைய அபார மூளையும் அவருடைய அபூர்வமான உள்ளுணர்வும் இரண்டு முக்கிய திருப்புமுனைகளில் சாதித்த பங்களிப்பு இருந்திராவிட்டால் இந்த வாய்ப்பாடு இன்றைய இந்நிலையை அடைந்திருக்காது'!

இதைப்பற்றிய பிற்காலத்திய தகவல்களை எண் பிரிவினை என்ற தாய்க்கட்டுரையைப் பார்க்கவும்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• இராமானுசன் கணிதத்துளிகள்

துணைநூல்கள்

• G.H. Hardy (ed.) Srinivasa Ramanujan: 12 lectures suggested by his life and work. Reprinted Chelsea, New York 1959.