இராமானுசன் கணிதத்துளிகள்: பிரிவினைச் சார்பு

16 வயதுக்குள் கணித இயலர் என்ற தகுதியை தனக்குள் அடைந்து 32 வயதே வாழ்ந்த சீனிவாச இராமானுஜன், உலகத்தை வியக்கச் செய்த ஒப்பரிய பெரும் கணித மேதை. இராமானுஜனுடைய கணித மேதையை எடுத்துக்காட்டக்கூடியதும் கணிதத்தில் திறன் இல்லாதவர்களும் ஓரளவு புரிந்து கொள்ளக்கூடியதுமான கணிதத்துளிகளில் சில எண் பிரிவினைச் சார்பின் வகுபடும் தன்மையைப் பற்றி இராமானுசன் கண்டுபிடிப்புகளும் யூகங்களும்.

எண் கோட்பாட்டுச்சார்பு

நேர்ம முழு எண் [math]\displaystyle{ n }[/math] இனுடைய கட்டற்ற பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கை [math]\displaystyle{ p(n). }[/math] இங்கு பாகங்களின் வரிசைமாற்றத்தினால் மட்டும் வேறுபடும் பிரிவினைகள் வேறாக எண்ணப்படுவதில்லை. எடுத்துக்கட்டாக, p(5) = 7, ஏனென்றால்

5 = 4+1 = 3+2 = 3+1+1 = 2+2+1 = 2+1+1+1 = 1+1+1+1+1.

மேஜர் மக்மஹோனால் [math]\displaystyle{ n \leq 200 }[/math] க்குக் கணிக்கப்பட்ட [math]\displaystyle{ p(n) }[/math] இன் மதிப்புகளை ஆராய்ந்து இராமானுசன் சிறுவயதிலிருந்தே p(n) இன் வகுபடும் தன்மைகளைப் பற்றிக் கண்டுபிடித்த வைகளில் முதல் சிலவற்றைக் கீழ்வரும் அட்டவணையில் பார்க்கலாம்.

எண் [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] வின் தன்மை	[math]\displaystyle{ p(\lambda) = \lambda }[/math] வின் பிரிவினை எண்ணிக்கை	[math]\displaystyle{ p(\lambda) }[/math] வை சரியாக வகுக்கும் எண்	எ.கா.
5n + 4	p(5n + 4)	5	p(9)=30=0(mod5)
7n + 5	p(7n + 5)	7	p(12) = 77 = 0(mod7) p(19) = 490 = 0(mod7)
11n + 6	p(11n + 6)	11	p(17) = 297 = 0(mod11) p(28) = 3718 = 0(mod11)
25n + 24	p(25n + 24)	25	p(49) =173525=0(mod25) p(74) = 7089500 = 0(mod25)
49n + 47	p(49n + 47)	49	p(96)=118114304 = 0(mod49)

இராமானுசனுடைய யூகம்: [math]\displaystyle{ 24\lambda - 1 }[/math] ஐ [math]\displaystyle{ 5^a7^b11^c }[/math] சரியாக வகுத்தால், [math]\displaystyle{ p(\lambda) }[/math]வை யும் அது சரியாக வகுக்கும்.

காலக்கிரமத்தில் கணித இயலர்கள் இதை சிறிது சிறிதாக வெல்ல முயன்ற முன்னேற்றத்தை கீழேயுள்ள அட்டவணையில் பார்க்கலாம்:

a =	b =	c =	கணித இயலர்	ஆண்டு
3	0	0	க்ரெக்மர்	1933
எந்த மதிப்பும்	0	0	வாட்ஸன்	1938
0	0	3, 4	லெமர்	1936
0	3	0	சாவ்லா, யூகம் உண்மையல்ல என்று ஒரு மாறுகாட்டு காட்டினார்.	1934

சாவ்லா காட்டின மாறுகாட்டு: [math]\displaystyle{ 24\times 243 - 1 }[/math] ஐ [math]\displaystyle{ 7^3 }[/math] வகுக்கிறது; ஆனால் [math]\displaystyle{ p(243) }[/math] ஐ [math]\displaystyle{ 7^3 }[/math] வகுக்கவில்லை. இங்கு குறிப்பிடப்படவேண்டிய விஷயம் இராமானுசன் காலத்தில் [math]\displaystyle{ p(n) }[/math] மதிப்புகள் 200 க்குமேல் கணிக்கப்படவில்லை என்பதுதான்.

ஆக, இராமானுசன் யூகம் காலத்தின் போக்கில் தவறு என்று தெரிந்துவிட்டது. ஆனால் கணித இயலர்கள் இந்த ஆய்வை நிறுத்தவில்லை. வெவ்வேறுவிதமாக இராமானுசனின் யூகத்தை மாற்றி அமைக்கப் பார்த்தனர். கடைசியில் 1967 இல் ஐட்கென் என்பவர், முடிவாக நிறுவியது கீழ்வருமாறு:

[math]\displaystyle{ 24\lambda - 1 }[/math] ஐ [math]\displaystyle{ 5^a7^b11^c }[/math] சரியாக வகுத்தால், [math]\displaystyle{ p(\lambda) }[/math]வை

[math]\displaystyle{ b }[/math] இரட்டைப்படையாக இருந்தால் [math]\displaystyle{ 5^a 7^{1 + \frac{b}{2}} 11^c }[/math] ம்

[math]\displaystyle{ b }[/math] ஒற்றைப்படையாக இருந்தால் [math]\displaystyle{ 5^a 7^{(b+1)/2} 11^c }[/math] ம்

வகுக்கும்.

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• இராமானுசன் கணிதத்துளிகள்