https://wiki2.tamilar.wiki/w/index.php?action=history&feed=atom&title=142857_%28%E0%AE%8E%E0%AE%A3%E0%AF%8D%29
142857 (எண்) - திருத்த வரலாறு
2026-06-02T14:52:42Z
விக்கியில் இப்பக்கத்துக்கான திருத்த வரலாறு
MediaWiki 1.43.6
https://wiki2.tamilar.wiki/w/index.php?title=142857_(%E0%AE%8E%E0%AE%A3%E0%AF%8D)&diff=222850&oldid=prev
imported>Info-farmer: CS1 errors: dates வழு சீராக்கப்பட்டது.
2024-04-16T03:51:17Z
<p>CS1 errors: dates வழு சீராக்கப்பட்டது.</p>
<p><b>புதிய பக்கம்</b></p><div>{{Infobox number<br />
| number = 142857<br />
}}<br />
1/7 இன் [[மீளும் தசமங்கள்|மீளும் தசமமான]] <math> 0.\overline{142857} </math> இல் உள்ள மீளும் ஆறு இலக்கங்களால் எண் '''142857''', பத்தடிமானத்தில் அமைந்த நன்கறியப்பட்ட [[சுழலெண்]] ஆகும்.<ref>[http://www.daviddarling.info/encyclopedia/C/cyclic_number.html "Cyclic number"] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070929122525/http://www.daviddarling.info/encyclopedia/C/cyclic_number.html |date=2007-09-29 }}, ''The Internet Encyclopedia of Science''</ref><ref>Michael W. Ecker, [http://links.jstor.org/sici?sici=0049-4925(198303)14%3A2%3C105%3ATALOCN%3E2.0.CO%3B2-Y "The Alluring Lore of Cyclic Numbers"], ''The Two-Year College Mathematics Journal'', Vol.14, No.2 (March 1983), pp.&nbsp;105–109</ref><ref>[http://planetmath.org/encyclopedia/CyclicNumber.html Cyclic number] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070714114415/http://planetmath.org/encyclopedia/CyclicNumber.html |date=2007-07-14 }}, PlanetMath</ref><ref>{{cite web|url=http://findarticles.com/p/articles/mi_hb4870/is_200508/ai_n17913296|title=Go figure (cyclic numbers)|author=Hogan, Kathryn|date=August 2005|publisher=Australian Doctor|archiveurl=https://web.archive.org/web/20071224191059/http://findarticles.com/p/articles/mi_hb4870/is_200508/ai_n17913296|archivedate=24 திசம்பர் 2007|access-date=14 ஏப்பிரல் 2016|url-status=live}}</ref> 142857 ஐ 2, 3, 4, 5, 6 ஆல் பெருக்கக் கிடைக்கும் எண்கள் 142857 இன் இலக்கங்களின் [[சுழல் வரிசைமாற்றம்|சுழல் வரிசைமாற்ற]] எண்களாக இருக்கும். மேலும் அவற்றின் மதிப்புகள் முறையே '''2/7''', '''3/7''', '''4/7''', '''5/7''', '''6/7''' ஆகியவற்றின் மீளும் தசமங்களின் மீளும் இலக்கங்களாலான எண்களாகவும் இருக்கும்.<br />
<br />
142857, பத்தடிமானத்திலமைந்த ஒரு [[கப்ரேக்கர் எண்]] மற்றும் [[ஹர்ஷத் எண்]] ஆகும்.<br />
<br />
== கணக்கீடுகள் ==<br />
: 1 × 142,857 = 142,857<br />
: 2 × 142,857 = 285,714<br />
: 3 × 142,857 = 428,571<br />
: 4 × 142,857 = 571,428<br />
: 5 × 142,857 = 714,285<br />
: 6 × 142,857 = 857,142<br />
: 7 × 142,857 = 999,999 (= 142857 + 857142)<br />
<br />
7 ஐ விடப் பெரிய [[முழு எண்]]ணால் பெருக்கும்போது கிடக்கும் எண்ணை ஒரு எளியமுறைப்படி மூல எண்ணின் இலக்கங்களின் சுழல் வரிசைமாற்றமாகக் காணலாம். விடையாகக் கிடைக்கும் எண்ணின் வலதுகோடி ஆறு இலக்கங்களை (ஒன்று முதல் பத்தாயிரம்வரை) மீதமுள்ள இலக்கங்களோடு கூட்ட வேண்டும். இறுதியாக ஆறிலக்க எண் கிடைக்கும்வரை இச்செயல் தொடரப்பட வேண்டும்.<br />
<br />
: 142857 × 8 = 1142856<br />
: 1 + 142856 = 142857<br />
<br />
: 142857 × 815 = 116428455<br />
: 116 + 428455 = 428571<br />
<br />
: 142857<sup>2</sup> = 142857 × 142857 = 20408122449<br />
: 20408 + 122449 = 142857<br />
<br />
: 142857 ஐ 7 ஆல் பெருக்கினால் கிடைக்கும் எண் 999999<br />
<br />
7 இன் பிற அடுக்குகளால் பெருக்கக் கிடைக்கும் எண்களை 999999 ஆக மாற்றும் முறை:<br />
<br />
: 142857 × 7 = 999999<br />
: 142857 × 7<sup>4</sup> = 342999657<br />
: 342 + 999657 = 999999<br />
<br />
142857 இன் இறுதி மூன்று இலக்கங்களாலான எண்ணின் வர்க்கத்திலிருந்து, முதல் மூன்று இலக்கங்களாலான எண்ணின் வர்க்கத்தைக் கழித்தால் மூல எண்ணின் இலக்கங்களின் சுழல் வரிசைமாற்றம் கொண்ட எண் கிடைக்கும்.<br />
<br />
எடுத்துக்காட்டு:<br />
: 857<sup>2</sup> = 734449<br />
: 142<sup>2</sup> = 20164<br />
: 734449 − 20164 = 714285<br />
<br />
[[விகிதமுறு எண்]] 1/7 இன் [[பதின்ம உருவகிப்பு|பதின்ம உருவகிப்பான]] 0.{{overline|142857}} இன் மீளும் பாகமாக 142857 இருப்பதால் 1/7 இன் மடங்குகளின் பதின்ம உருவகிப்பிலுள்ள மீளும் எண்கூட்டங்கள், 142857 இன் ஒத்த மடங்குகளாக இருக்கும்: <br />
: 1 ÷ 7 = 0.{{overline|142857}}<br />
: 2 ÷ 7 = 0.{{overline|285714}}<br />
: 3 ÷ 7 = 0.{{overline|428571}}<br />
: 4 ÷ 7 = 0.{{overline|571428}}<br />
: 5 ÷ 7 = 0.{{overline|714285}}<br />
: 6 ÷ 7 = 0.{{overline|857142}}<br />
: 7 ÷ 7 = [[0.999...|0.{{overline|999999}}]] = 1<br />
: 8 ÷ 7 = 1.{{overline|142857}}<br />
: 9 ÷ 7 = 1.{{overline|285714}}<br />
: …<br />
<br />
== முடிவுறா கூடுதலாக 1/7 ==<br />
<br />
<math>\begin{align}1/7\ & = 0.142857142857142857\ldots \\[6pt]<br />
<br />
& = 0.14 + 0.0028 + 0.000056 + 0.00000112 + 0.0000000224 + 0.000000000448 + 0.00000000000896 + \cdots \\[6pt]<br />
<br />
& = \frac{14}{100} + \frac{28}{100^2} + \frac{56}{100^3} + \frac{112}{100^4} + \frac{224}{100^5} + \cdots + \frac{7\times2^N}{100^N} + \cdots \\[6pt]<br />
<br />
& = \left( \frac{7}{50} + \frac{7}{50^2} + \frac{7}{50^3} + \frac{7}{50^4} + \frac{7}{50^5} + \cdots + \frac{7}{50^N} + \cdots \right) \\[6pt]<br />
<br />
& = \sum_{k=1}^\infty \frac{7}{50^k} \end{align}</math><br />
<br />
==மேற்கோள்கள்==<br />
{{reflist}}<br />
{{refbegin}}<br />
* Leslie, John. ''"The Philosophy of Arithmetic: Exhibiting a Progressive View of the Theory and Practice of&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;.&nbsp;."'', Longman, Hurst, Rees, Orme, and Brown, 1820, {{ISBN|1-4020-1546-1}}<br />
* Wells, D. ''The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers'' Revised Edition. London: Penguin Group. (1997): 171–175<br />
{{refend}}<br />
<br />
[[பகுப்பு:எண்கள்]]<br />
[[பகுப்பு:முழு எண்கள்]]</div>
imported>Info-farmer