106.79.196.147: செவ்வளைவு

2023-09-02T03:46:47Z

செவ்வளைவு

புதிய பக்கம்

{{Function
|name = Sine
|image = Sine_one_period.svg
|heading1 = 1
|parity = ஒற்றை
|domain = (-∞,∞)
|codomain = [-1,1]
|period = 2π
|heading2 = 1
|zero = 0
|plusinf =
|minusinf =
|max = ((2k+½)π,1)
|min = ((2k-½)π,-1)
|vr1 =
|f1 =
|vr2 =
|f2 =
|vr3 =
|f3 =
|vr4 =
|f4 =
|vr5 =
|f5 =
|heading3 = 1
|asymptote =
|root = kπ
|critical = kπ-π/2
|inflection = kπ
|fixed = 0
|notes =[[மாறி]] k ஒரு [[முழு எண்]]
}}

[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] '''செவ்வளைவு''' அல்லது '''சைன்''' (''Sine'') [[சார்பு]] என்பது ஒரு [[கோணம்|கோணத்தின்]] சார்பாகும். கோணங்களின் சார்புகளாக அமையும் ஆறு [[முக்கோணவியல் சார்புகள்|முக்கோணவியல் சார்புகளில்]] இது முதல் சார்பாக வரிசைப்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு [[முக்கோணம்#முக்கோணங்களின் வகைகள்|செங்கோண முக்கோணத்தில்]], ஒரு கோணத்தின் சைன் சார்பு, அக்கோணத்தின் எதிர்ப்பக்கத்திற்கும் செம்பக்கத்திற்குமுள்ள [[விகிதம்|விகிதமாகும்]]. ஓரலகு [[வட்டம்]], [[சாய்வு]], முடிவிலாத்தொடர் முதலியவை வாயிலாகவும் மற்றும் [[வகையீட்டுச் சமன்பாடு|வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளின்]] தீர்வாகவும் சைன் சார்பை [[வரையறை|வரையறுக்கலாம்]].

ஒலி, ஒளி அலைகளின் காலமுறைமை, சீரிசை அலையியற்றியின் நிலை மற்றும் திசைவேகம், சூரிய ஒளியின் செறிவு, பகல் பொழுதின் நீளம் மற்றும் ஒரு ஆண்டு முழுவதற்குமான சராசரி வெப்ப அளவு போன்ற கருத்துகளை விளக்க, சைன் சார்பு பயன்படுகிறது.

[[சமஸ்கிருதம்|சமஸ்கிருதத்திலிருந்து]] [[அரபு மொழி]]க்கும் அரபு மொழியிலிருந்து [[இலத்தீன்]] மொழிக்கும் இடம் பெயர்ந்த, [[குப்தப் பேரரசு|குப்தர்கள்]] காலத்து [[இந்தியா|இந்திய]] [[வானவியல்|வானவியலில்]] (ஆர்யபட்டியம், சூரிய சித்தாந்தம்) பயன்படுத்தப்பட்ட ''ஜியா'' மற்றும் ''கோட்டி-ஜியா'' சார்புகள் சைன் சார்பின் மூலங்களாகும்.<ref name="Boyer, Carl B. 1991 p. 210">Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (Second ed.). John Wiley & Sons, Inc.. {{ISBN|0-471-54397-7}}, p. 210.</ref> பாதி நாண் எனும் பொருள் கொண்ட ''ஜிய- ஆர்த'' என்ற சமஸ்கிருதச் சொல் அரபு மொழியில் ''ஜிபா'' (''jiba'') என மொழிபெயர்க்கப்பட்டுப் பின் ''ஜிப்'' (''jb'') என சுருக்கமடைந்து பின், ''ஜெய்ப்'' (''jaib'') என திரிந்து, விரிகுடா என்ற பொருளுடைய ''சைனஸ்'' (''sinus'') எனும் வார்த்தையாக [[இலத்தீன்]] மொழியில் மொழிபெயர்க்கப்பட்டுள்ளது. இந்த சைனஸ் வார்த்தையிலிருந்து சைன் என்ற பெயர் ஏற்பட்டது.<ref>Oxford English Dictionary, sine, ''n.''<sup>2</sup></ref>,

== செங்கோண முக்கோணத்தில் வரையறை ==
[[படிமம்:Trigono sine en2.svg|right|thumb|<math>\sin \alpha = \frac {\textrm{opposite}} {\textrm{hypotenuse}} </math>]]
[[வடிவொப்புமை (வடிவவியல்)#வடிவொத்த முக்கோணங்கள்|வடிவொத்த முக்கோணங்களின்]] ஒத்தபக்கங்களின் [[விகிதம்|விகிதங்கள்]] சமமாக இருக்கும் என்ற உண்மையிலிருந்து, ஒரு முக்கோணத்தின் பக்க [[நீளம்|நீளங்களுக்கும்]] கோண அளவுகளுக்கும் தொடர்பு இருக்கும் என்ற கருத்து அறியப்படுகிறது. இரு செங்கோண முக்கோணங்களில் ஒன்றின் [[செம்பக்கம்]] மற்றதன் செம்பக்க நீளத்தைப் போல இருமடங்கு எனில் மற்ற பக்கங்களும் அவ்வாறே அமையும். இந்த பக்க விகிதங்களைத்தான் முக்கோணவியல் சார்புகள் தருகின்றன.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் கோணம் ''A'' -ன் முக்கோணவியல் சார்புகளை வரையறுக்க அம்முக்கோணத்தின் பக்கங்களைப் பின்வருமாறு அழைக்கலாம்:

* ''செம்பக்கம்'' (அல்லது கர்ணம்) (''hypotenuse''):

செங்கோணத்திற்கு எதிர்ப்பக்கம். இதன் அளவு  '''h'''. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் செம்பக்கந்தான் மூன்று பக்கங்களிலும் நீளமானது.

* ''எதிர்ப்பக்கம்'' (''opposite''):

நாம் எடுத்துக்கொண்ட கோணம் ''A'' -க்கு எதிரில் அமையும் பக்கம். இதன் நீளம்  '''a'''.

* ''அடுத்துள்ள பக்கம்'' (''adjacent''):

[[செங்கோணம்]] மற்றும் நாம் எடுத்துக்கொண்ட கோணம் இரண்டிற்கும் ( ''A'' மற்றும் ''C'') பொதுவான பக்கம். இதன் நீளம்  '''b'''.

'''சைன் சார்பு''':

செங்கோண முக்கோணத்தின் ஒரு கோணத்தின் சைன் மதிப்பு, அக்கோணத்தின் எதிர்ப்பக்கம் மற்றும் செம்பக்கத்தின் விகிதமாகும்.
:<math>\sin A = \frac {\textrm{opposite}} {\textrm{hypotenuse}} = \frac {a} {h}.</math>

''A'' கோணத்தைக் கொண்ட அனைத்து செங்கோண முக்கோணங்களிலும் இவ்விகிதத்தின் மதிப்பு ஒரே மதிப்புடையதாய் அமையும். அச்செங்கோண முக்கோணங்கள் எல்லாம் வடிவொத்த முக்கோணங்கள் என்பதால் அவற்றின் பக்க அளவுகள் வெவ்வேறாக இருந்தாலும் அவற்றின் அவ்வேறுபாடு இவ்விகிதத்தின் மதிப்பைப் பாதிப்பதில்லை.

== வரையறை- சாய்வு வாயிலாக ==
செங்கோண முக்கோணங்களின் மூலம் வரையறுப்பது போல ஒரு கிடைமட்டக்கோட்டுடன் தொடர்புடைய ஒரு கோட்டுத்துண்டின் ''எழுச்சி'' (rise), ''ஓட்டம்''(run), [[சாய்வு]] ஆகியவற்றின் மூலமாகவும் முக்கோணவியல் சார்புகளை வரையறுக்கலாம்.

எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட கோட்டுத்துண்டின் நீளம் 1 அலகு என்க. அக்கோட்டுத்துண்டு ஒரு குறிப்பிட்ட கிடைமட்டக்கோட்டுடன் உருவாக்கும் கோணம் ''A'' என்க. இக்கோணத்தின்:

* சைன் மதிப்பு, கோட்டுத்துண்டின் செங்குத்தான எழுச்சியின் அளவுக்குச் சமம்.
:SinA = எழுச்சி

கோட்டுத்துண்டின் [[நீளம்]] சாய்வின் மதிப்பை பாதிப்பதில்லை. ஆனால் எழுச்சி மற்றும் ஓட்டத்தின் மதிப்புகள் கோட்டுத்துண்டின் நீளத்தைச் சார்ந்துள்ளன. கோட்டுத்துண்டின் நீளம் 1 அலகாக இல்லையென்றால் குறிப்பிட கோணத்தில் அக்கோட்டுத்துண்டின்

* எழுச்சியைக் காண அக்கோணத்தின் சைன் மதிப்பை கோட்டுத்துண்டின் நீளத்தால் பெருக்கிக் கொள்ள வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டாக:

கோட்டுத்துண்டின் நீளம் 5 அலகுகள் எனில் 7° கோணத்தில் அக்கோட்டுத்துண்டின்:

எழுச்சி = 5 sin(7°)

== வரையறை- ஓரலகு வட்டம் வாயிலாக ==
ஆறு முக்கோணவியல் சார்புகளையும் ஓரலகு வட்டத்தைக் கொண்டு வரையறுக்கலாம். [[ஓரலகு வட்டம்]] என்பது ஆதிப்புள்ளியை மையமாகவும் [[ஆரம்]] 1 அலகும் கொண்ட வட்டமாகும். நடைமுறைக் கணக்கீடுகளுக்கு ஓரலகு வட்டத்தின் மூலமான வரையறை அவ்வளவாகப் பொருந்தாவிடினும், (0, π/2 ) -ல் அமையும் கோணங்களுக்கு மற்றுமல்லாது அனைத்து மெய்யளவு கோணங்களுக்கும் பொருத்தமாக அமையும்.

''x''-அச்சின் நேர்மப் பகுதியோடு, ஆதிப்புள்ளியில் ''θ'' கோணம் உண்டாக்கும் ஒரு [[கோடு]] ஓரலகு வட்டத்தை சந்திக்கிறது என்க. அந்த சந்திக்கும் புள்ளியின் ''x''- மற்றும் ''y''-அச்சுதூரங்கள் முறையே cos ''θ'' மற்றும் sin ''θ'' -க்குச் சமம். செங்கோண முக்கோண முறை வரையறைப்படியும் இதை உணரலாம். வெட்டும் புள்ளியின் அச்சுதூரங்கள்: (x, y) என்க. ஓரலகு வட்டத்தின் ஆரம் செங்கோண முக்கோணத்தின் செம்பக்கம். எனவே செம்பக்கத்தின் அளவு 1 அலகு.

<math>\sin\theta\ = \frac{y}{1} = y \,</math>

{|
|valign="top"| [[படிமம்:Unit circle 3.svg|right|thumb|ஓரலகு வட்டம்.]]
|valign="top"| [[படிமம்:Unit circle.svg|Unit circle|right|thumb|ஓரலகு வட்டத்தின் ஆரம் 1 அலகு. [[மாறி]] ''t'' ஒரு கோண அளவு.]]
|valign="top"| [[படிமம்:Trig functions on unit circle.svg|thumb|புள்ளி ''P''(x,y) ஓரலகு வட்டத்தின் விரிகோணத்தில் (θ > π/2) அமையும் ஆரத்தின் முனையாக அமைகிறது.]]
|}

[[படிமம்:Sin drawing process.gif|thumb|left|711px|ஓரலகு வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி y = sin x -சார்பின் [[வரைபடம்]] வரைதலின் அசைப்படம். (கோணம் x - ரேடியனில்)]]
{{clr}}

== முடிவிலாத் தொடரின் வாயிலாக ==
[[படிமம்:Taylorsine.svg|300px|thumb|right|ஆதியை மையமாகக் கொண்ட முழு வட்டத்திற்கு, சைன் சார்பு (நீலம்), அதன் டெயிலரின் பல்லுறுப்புக்கோவையால் (படி-7) (பிங்க்) தோராயப்படுத்தப்பட்டுள்ளது.]]

டெயிலரின் விரிவுக் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்திப் பின்வரும் முற்றொருமையை, எல்லா [[எண்#மெய்யெண்கள்|மெய்யெண்கள்]] ''x'' -க்கும் உண்மையெனக் காட்டலாம்.<ref>See Ahlfors, pages 43–44.</ref>

:<math>
\begin{align}
\sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\
& = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \\
\end{align}
</math>

== வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டின் வாயிலாக ==

சைன் சார்பு பின்வரும் வகைக்கெழுச் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும் தீர்வாக அமையும்:

: <math>y'' = -y.\,</math>

* <math>\scriptstyle \left( y'(0), y(0) \right) = (1, 0)\,</math> என்ற ஆரம்ப நிபந்தனையை நிறைவு செய்யும் தனித்த தீர்வு சைன் சார்பாகும்.

== முற்றொருமைகள் ==

<math>\theta</math> -ன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் பின்வரும் [[முக்கோணவியல் முற்றொருமைகளின் பட்டியல்|முற்றொருமைகள்]] மெய்யாகும்:

:<math>
\begin{align}
\sin \theta & = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \theta \right) \\
& = \frac{1}{\csc \theta}
\end{align}
</math>

<math> \sin \theta \!</math>

: = <math>\pm\sqrt{1 - \cos^2 \theta}\! </math>

: = <math>\pm\frac{\tan \theta}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}\! </math>

: = <math> \frac{1}{\csc \theta}\! </math>

: = <math>\pm\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}\! </math>

: = <math>\pm\frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}\! </math>

=== தலைகீழி ===
சைன் சார்பின் [[தலைகீழிச் சார்புகள் (முக்கோணவியல்)|தலைகீழிச் சார்பு]] [[கோசீக்கெண்ட் (முக்கோணவியல்)|கோசீக்கெண்ட்]] சார்பு.

sin(''A'') -ன் தலைகீழி csc(''A''), அல்லது cosec(''A''):

:<math>\csc A = \frac {1}{\sin A} = \frac {\textrm{hypotenuse}} {\textrm{opposite}} = \frac {h} {a}. </math>

== நேர்மாறு ==
[[படிமம்:Arcsine.svg|thumb|180px|arcsin(x) -ன் முதன்மை மதிப்புகள் கார்ட்டீசியன் தளத்தில் வரைபடமாக்கப்பட்டுள்ளது.]]
சைன் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பு arcsine (arcsin) அல்லது(sin{{sup|−1}}).

:<math>\theta = \arcsin \left( \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} \right) = \sin^{-1} \left( \frac {a} {h} \right).</math>

k ஏதாவதொரு [[முழு எண்]]:

:<math>\begin{align}
\sin(y) = x \ \Leftrightarrow\ & y = \arcsin(x) + 2k\pi , \text{ or }\\
& y = \pi - \arcsin(x) + 2k\pi
\end{align}</math>

மேலும்:

:<math>\sin(\arcsin x) = x\!</math>

:<math>\arcsin(\sin \theta) = \theta\quad\text{for }-\pi/2 \leq \theta \leq \pi/2.</math>

== காற்பகுதிகள் தொடர்பான பண்புகள் ==
[[படிமம்:Quadrants 01 Pengo.svg|thumb|150px|கார்ட்டீசியன் தளத்தில் நான்கு காற்பகுதிகள்.]]
நான்கு காற்பகுதிகளிலும் சைன் சார்பு அமையும் விதத்தைப் பின்வரும் அட்டவணை தருகிறது.

{| class="wikitable"
|--class="hintergrundfarbe8"
!காற்பகுதி
![[பாகை (அலகு)|பாகை]]
![[ரேடியன்]]
!மதிப்பு
!குறி
![[ஓரியல்புச் சார்பு|ஓரியல்புத் தன்மை]]
!குவிவுத்தன்மை
|-
|முதல் காற்பகுதி
|<math>0^\circ<x<90^\circ</math>
|<math>0<x< \pi/2 </math>
|<math>0<\sin x<1</math>
|<math>+</math>
|[[ஓரியல்புச் சார்பு#கூடும் சார்பு|கூடும் சார்பு]]
|குழிவு
|-
|இரண்டாம் காற்பகுதி
|<math>90^\circ<x<180^\circ</math>
|<math>\pi/2<x<\pi</math>
|<math>0<\sin x<1</math>
|<math>+</math>
|[[ஓரியல்புச் சார்பு#குறையும் சார்பு|குறையும் சார்பு]]
|குழிவு
|-
|மூன்றாம் காற்பகுதி
|<math>180^\circ<x<270^\circ</math>
|<math>\pi<x<3\pi/2</math>
|<math>-1<\sin x<0</math>
|<math>-</math>
|குறையும் சார்பு
|குவிவு
|-
|நான்காம் காற்பகுதி
|<math>270^\circ<x<360^\circ</math>
|<math>3\pi/2<x<2\pi</math>
|<math>-1<\sin x<0</math>
|<math>-</math>
|கூடும் சார்பு
|குவிவு
|}

காற்பகுதிகளுக்கு இடைப்பட்ட [[புள்ளி]]களில், k ஒரு முழு எண்.
[[படிமம்:Sine quads 01 Pengo.svg|thumb|390px|கார்ட்டீசியன் தளத்தில் ஓரலகு வட்டம் மற்றும் ''sin x'' -ன் காற்பகுதிகள்.]]

{| class="wikitable"
|--class="hintergrundfarbe8"
!பாகை
!ரேடியன்
0 ≤ ''x'' < 2π
!ரேடியன்
!sin ''x''
!|புள்ளி வகை
|-
|<math>0^\circ</math>
|0
||<math>2 \pi k</math>
|0
|sin ''x'' = 0, [[சமன்பாடு|சமன்பாட்டின்]] மூலம், [[வளைவுமாற்றுப் புள்ளி]]
|-
|<math>90^\circ</math>
|<math>\pi/2</math>
|<math>2 \pi k + \pi/2 </math>
|1
|[[பெருமம் மற்றும் சிறுமம்|பெரும மதிப்பு]]
|-
|<math>180^\circ</math>
|<math>\pi</math>
|<math>2 \pi k - \pi</math>
|0
|sin ''x'' = 0, [[சமன்பாடு|சமன்பாட்டின்]] மூலம், வளைவுமாற்றுப் புள்ளி
|-
|<math>270^\circ</math>
|<math>3\pi/2</math>
|<math>2 \pi k - \pi/2 </math>
| -1
|[[பெருமம் மற்றும் சிறுமம்|சிறும மதிப்பு]]
|}

அட்டவணையில் இல்லாத கோணங்களுக்கு, சைன் சார்பு 360° (2π rad) அளவு கால முறைமை கொண்டது என்ற கூற்றினைப் பயன்படுத்தி காணலாம்:

<math>\sin(\alpha + 360^\circ) = \sin(\alpha)</math>,

அல்லது

<math>\sin(\alpha + 180^\circ) = -\sin(\alpha)</math> -ஐப் பயன்படுத்தலாம்.

மேலும்

<math>\sin(180^\circ-\alpha) = \sin(\alpha)</math>

== நுண்கணிதம் ==

சைன் சார்பு:

:<math> f(x) = \sin x \,</math>

[[நுண்கணிதம்|நுண்கணிதத்தில்]] இச்சார்பின்:

* [[வகைக்கெழு]]:

:<math> f'(x) = \cos x \,</math>

* [[தொகையீடு]]:

:<math>\int f(x)\,dx = -\cos x + C </math>

''C'', தொகையீட்டு மாறிலி.

== மேற்கோள்கள் ==
{{reflist}}

[[பகுப்பு:முக்கோணவியல் சார்புகள்]]

[[no:Trigonometriske funksjoner#Sinus, cosinus og tangens]]

சைன் - திருத்த வரலாறு

106.79.196.147: செவ்வளைவு