இராமானுசன் கணிதத்துளிகள்: டௌ-சார்பின் வளர்வு
கணித மேதை இராமானுசனின் சாதனைகளில் மிக முக்கியமானவைகளில் ஒன்று, இராமானுஜனின் டௌ-சார்பு (Ramanujan's tau Function) என்று பிரசித்தி பெற்ற எண் கோட்பாட்டுச் சார்பு. இராமானுசன் கணிதத்துளிகளில் விந்தை மிக்க பல செய்திகள் உள்ளன. அவைகளில் டௌ-சார்பின் வளர்வைப் பற்றிய (Growth of tau-Function) இராமானுசனின் யூகத்தைச் சரியென்று நிறுவல் கொடுப்பதற்கு இருபதாம் நூற்றாண்டின் கணிதமேதைகள் பலரின் பங்களிப்புகளும் தேவைப்பட்ட செய்தி மிக்க சுவையானது.
டௌ-சார்பு
[math]\displaystyle{ \tau(n) }[/math] என்பது ஒரு முடிவுறாச் சரத்தில் [math]\displaystyle{ x^n }[/math] இன் கெழு. இந்த முடிவுறாச் சரமே ஒரு முடிவுறாப் பெருக்கீட்டின் விரிபாடு. அதாவது,
[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \tau(n)x^n = \{x (1 - x) (1 - x^2) (1 - x^3) ... ...\}^{24} }[/math]
டௌ-சார்புக்கு சுழிகள் உண்டா?
டௌ சார்பில் சாரா மாறியாக இருப்பது எண்கள். எந்த எண் [math]\displaystyle{ n }[/math] க்காவது [math]\displaystyle{ \tau(n) }[/math] சூனியமாகுமா என்பது முதல் கேள்வி. லெமர் என்ற கணித இயலர் 'ஆகாது' என்ற யூகத்தை கணித உலகத்தின் முன் வைத்திருக்கிறார். Serre என்ற கணித இயலரின் ஆய்வுகளிலிருந்து [math]\displaystyle{ n \leq 10^{15} }[/math] க்கு உகந்த எல்லா [math]\displaystyle{ n- }[/math]மதிப்புகளுக்கும் இந்த யூகம் சரியென்றே தெரிகிறது. ஆனால் முழு யூகம் இன்னும் திறந்த வண்ணமே உள்ளது.
டௌ-சார்பின் வளர்வைப்பற்றி இராமானுசன்
சாராமாறியான [math]\displaystyle{ n }[/math] பெரிதாகப்போகப்போக, [math]\displaystyle{ \tau(n) }[/math] இன் மதிப்புகள் என்ன ஆகும் என்று தெரிந்துகொள்வது அதன் 'வளர்வை'ப்பற்றிய ஆய்வில் ஒரு முக்கிய குறி. இதைப்பற்றி 1916 இல் இராமானுசன் கணித உலகின் முன்வைத்த யூகம் கணித உலகையே ஒரு ஆட்டு ஆட்டிவைத்துவிட்டது.
இராமானுசனின் யூகம்:
- மிகப்பெரிதாக உள்ள எல்லா [math]\displaystyle{ n }[/math] க்கும் , [math]\displaystyle{ \tau(n) \leq K n^{\frac{11}{2} + \epsilon}. }[/math]
- இதையே வேறுவிதமாகவும் சொல்லலாம்: [math]\displaystyle{ \tau(n) }[/math] இன் வளர்வுக்கிரமம் (Growth-Order), [math]\displaystyle{ n^{\frac{11}{2} + \epsilon} }[/math].
- இங்கு [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] என்பது ஒரு நேர்ம எண். அது சிறியதாக இருக்க இருக்க மேற்படி அசம உறவு இன்னும் பலப்படுகிறது.
- [math]\displaystyle{ K }[/math] என்பது [math]\displaystyle{ n }[/math] உடன் சம்பந்தப்படாத ஒரு நிலையான எண்.
[math]\displaystyle{ \tau(n) \geq n^{\frac{11}{2}} }[/math] என்பது மிக எளிதில் நிறுவப்பட்டுவிட்டதால், இராமானுசனின் யூகத்தில் [math]\displaystyle{ \frac{11}{2} }[/math] ஐ மாற்றி அதைவிடச் சிறிய எண்ணைக்கொண்டு இன்னொரு யூகம் சொல்ல முடியாது.
இப்பொழுது பிரச்சினையெல்லாம் இராமானுசனின் யூகத்தை அப்படியே நிறுவல் கொடுத்துத் தீர்மானிப்பதுதான்.
வரலாறு
ஹார்டி மிகப்பெரிதாக உள்ள எல்லா [math]\displaystyle{ n }[/math] க்கும் , [math]\displaystyle{ \tau(n) \leq K n^8. }[/math] என்று நிறுவல் கொடுத்தார். இதன் பொருள் இரமானுசனின் யூகத்தில் [math]\displaystyle{ \frac{11}{2} +\epsilon }[/math] இன் இடத்தில் 8 இருப்பதாக நிறுவப்பட்டது.
இராமானுசனே அதை 7 வரையில் கொண்டு வரக்கூடிய நிறுவல் கொடுத்தார்.
இதற்குப்பிறகு 1918 இல், ஹார்டியும் லிட்டில்வுட்டும் சேர்ந்து, வாரிங் பிரச்சினை என்று பிரசித்திபெற்ற ஒரு எண்கோட்பாட்டுப் பிரச்சினைக்காக அவர்கள் பயன்படுத்திய மிக சிடுக்கான வழிகளின் மூலம், 7 ஐ 6 ஆக்கி நிறுவலளித்தனர்.
1927 இல் க்ளூஸ்டர்மன் என்பவர் அந்த எண்ணை [math]\displaystyle{ \frac{47}{8} + \epsilon }[/math] க்கு இறக்கிக்கொண்டு வந்தார். [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math] ஐ ஒதுக்கிவிட்டுப் பார்த்தால், இது இராமானுசன் யூகித்த [math]\displaystyle{ (6 - 1/2 }[/math])க்கும் மேலேயே [math]\displaystyle{ (6 -1/8) }[/math] இல் நிற்கிறது.
1933இல் டாவன்போர்ட்டும் ஸாலீ யும் சேர்ந்து இதை இன்னும் கீழே [math]\displaystyle{ \frac{35}{6}, }[/math] அதாவது, [math]\displaystyle{ (6 - 1/6) }[/math] க்குக் கொண்டுவந்தனர்.
1939இல் ரான்கின் இதை [math]\displaystyle{ \frac{29}{5} }[/math] அதாவது [math]\displaystyle{ (6 - 1/5) }[/math]க்கு இறக்கிக் கொண்டுவந்தனர்.
ஆனால் இரமானுசனின் யூகம் [math]\displaystyle{ (6 - 1/2). }[/math] இந்தக் கடினமான கடைசிச் சாதனை 1974 இல் டெலீன் (Deligne) என்பவரால் சாதிக்கப்பட்டது. இந்த நிறுவல் வெறும் எண்கோட்பாட்டு சாதனங்களைக்கொண்டு செய்யப்படவில்லை. இயற்கணித வடிவியல் என்ற 20ம் நூற்றாண்டின் புதிய கணிதப்பிரிவில் ஆண்டர் வைல் என்பவர் 1946 இல் முன்மொழிந்திருந்த மூன்று யூகங்களைப் பற்றிய டெலீனின் ஆய்வுகளிலிருந்து வந்தது. இதில் ரீமான் ஜீட்டா சார்பின் நுண்புலப் பெயர்ப்பும் அடக்கம். இயற்கணித இடவியல், இயற்கணித வடிவியல், இயற்கணித எண்கோட்பாடு என்ற மூன்று பெரிய பிரிவுகளை ஒன்றுசேர்க்கும் சாதனையாக மிளிர்ந்த இந்த ஆய்வுக்காக டெலீனுக்கு பீல்ட்ஸ் பதக்கம் என்ற பதக்கம் 1978 இல் ஹெல்ஸின்கியில் நடந்த பன்னாட்டுக் கணித காங்கிரஸில் வழங்கப்பட்டது.
இராமானுசனின் யூகத்தின் உண்மையை நிறுவவதில் மேற்சொன்ன கணித இயலர்களல்லாது பீடர்ஸன், ஸெல்பர்க், ஸெர், ஐக்லர் ஆகிய மற்றவர்களுடைய பங்களிப்பும் அடக்கம்.
இதில் சிறப்பு என்னவென்றால், இவ்வளவு மேதைகளும், இவ்வளவு உயர்தர கணிதச் சாதனங்களும் தேவைப்பட்ட ஒரு யூகம் இராமானுசன் மனதில் எப்படித் தோன்றியது என்பதுதான்!